3、一个由两个债券组成的资产组合的价值分布
上面我们显示了如何计算一个BBB级债券的一年后价值分布。下面我们在此债券的基础上再增加一个A级债券，观察由这两个债券构成的资产组合一年后的价值概率分布。假定此A级债券的息票率(coupon rate)为5%, 债券3年到期，面值仍为100元，风险时限为1年。在3.4.3节中我们计算了一个BBB级债券一年后的价值概率分布，我们可以用同样的方法得出此A级债券一年后的价值概率分布，如表3.7所示。
表3.7：一个A级债券一年后的等级、发生概率和对应的价值
|
一年后的等级 |
发生概率(%) |
价值(元) |
| AAA |
0.09 |
106.59 |
| AA |
2.27 |
106.49 |
| A |
91.05 |
106.30 |
| BBB |
5.52 |
105.64 |
| BB |
0.74 |
103.15 |
| B |
0.26 |
101.39 |
| CCC |
0.01 |
88.71 |
| 违约 |
0.06 |
51.13 |
我们将两个债券未来的可能价值(表3.5和表3.7)加起来就得到资产组合的可能价值。由于每个债券都可能有8种价值状态，因此资产组合可能有64(即8*8)种可能的价值，见表3.8所示。
表3.8：由两个债券组成的资产组合的64种可能状态下的价值(单位：元)
债券1,(BBB级) |
债券2, (A级) |
| AAA |
AA |
A |
BBB |
BB |
B |
CCC |
违约 |
| 106.59 |
106.49 |
106.30 |
105.64 |
103.15 |
101.30 |
88.71 |
51.13 |
| AAA |
109.37 |
215.96 |
215.68 |
215.67 |
215.01 |
212.52 |
210.76 |
198.08 |
160.50 |
| AA |
109.19 |
215.78 |
215.68 |
215.49 |
214.83 |
212.34 |
210.58 |
197.90 |
160.32 |
| A |
108.66 |
215.25 |
215.15 |
214.96 |
214.30 |
211.81 |
210.05 |
197.37 |
159.79 |
| BBB |
107.55 |
214.14 |
214.04 |
213.85 |
213.19 |
210.70 |
208.94 |
196.26 |
158.68 |
| BB |
102.02 |
208.61 |
208.51 |
208.33 |
207.66 |
205.17 |
203.41 |
190.73 |
153.15 |
| B |
98.10 |
204.69 |
204.59 |
204.40 |
203.74 |
201.25 |
199.49 |
186.81 |
149.23 |
| CCC |
83.64 |
190.23 |
190.13 |
189.94 |
189.28 |
186.79 |
185.03 |
172.35 |
134.77 |
| 违约 |
51.13 |
157.72 |
157.62 |
157.43 |
156.77 |
154.28 |
152.52 |
139.84 |
102.26 |
表3.8显示了由两个债券构成的资产组合的64种可能价值。这些价值从最低的102元(当两个债券同时违约时)到最高的215.59元(当两个债券都升至AAA级时)。我们的下一个任务就是计算这64种状态的发生概率。由于我们已经知道单个债券的等级转移概率，如BBB级债券一年后仍是BBB级的概率为86.93%,而A级债券一年后仍留在A级的概率为91.05%。除非债券1(BBB级)的等级变化与债券2（A级）的等级变化是完全独立的，我们不能得出两个债券一年后仍停留在原来等级的概率为 86.93%与91.05%的乘积。事实上，由于两个债券处在同一个大的经济环境中，因此其等级变化不大可能没有相关性。求出等级联合转移概率因而成了问题的关键。
在这里我们要再次用到默顿模型的理论了。在3.2节介绍EDF模型时，默顿曾把一个公司的资产价值与违约事件联系起来。当一个公司的价值低于某个阀值(即违约点)时，公司就发生了违约事件，并且通过引入“违约距离”的概念将公司资产的价值与违约率建立起了一种对应关系。CreditMetrics模型把默顿模型的概念又引深了一步，既然公司资产的价值与违约率有一种对应关系，那么公司资产的价值与信用等级也必然有一种对应关系，如图3.8所示。
(图3.8)
图3.8显示了公司资产一年的收益率与信用等级的对应关系。我们假定存在着一些阀值，从ZDef, ZCCC, ZB,…一直到ZAA，如果公司的资产收益率R<ZDef，那么公司就违约；如果ZDef<R< ZCCC，则公司的等级降为CCC级，以次类推。例如如果ZDef为-70%，那就说明如果公司资产价值下降70%，那么公司就会发生违约事件。CreditMetrics进一步假定上面公司资产的年收益率呈正态分布，均值m=0，标准差为d(事实上m和d都不会对结果产生影响)。由于我们从信用等级迁移矩阵中得知上面BBB级债券迁移到其他等级的概率，因此我们就可以计算出相应的阀值，从ZDef, ZCCC, ZB,…一直到ZAA(计算过程本文省略了)。
我们假定发行债券1的公司与发行债券2的公司的资产收益率的变化是相关的，并且呈二元正态分布。假设两个资产收益率的相关系数为r，那么二元正态分布的协方差矩阵S为：
 
 其中d和d’分别代表资产1和资产2收益率的标准差。只要知道了 r，我们就可以计算出债券1和债券2的联合转移概率。例如我们想计算两个债券停留在目前等级的概率，就是说BBB债券的资产收益率介于ZBB和ZBBB之间，A级债券的资产收益率介于Z’BBB和Z’A之间。我们用R和R’分别代表债券 1和债券2所在公司的资产收益率，那么两个债券同时保持现有等级的概率为：
其中f(r,r’;S)为协方差矩阵为S的二元正态分布的密度函数。
现在剩下的问题是怎样求两个企业的资产相关性r呢？CreditMetrics用股票的相关性作为资产收益率相关性的替代。它用某个特定国家的股票行业指数构建不同行业之间的相关矩阵，然后以资产组合中单个企业对各个行业的不同介入程度形成权重比例，继而计算出债务人之间的股权相关矩阵，以次代替资产收益率的相关性。
我们假定计算出r＝0.30以后，那么我们就可以计算出两个债券的联合转移概率，如表3.9所示：
表3.9: 在假定资产相关系数为0.30情况下的等级联合转移概率
|
债券1,(BBB级) |
债券2, (A级) |
| AAA |
AA |
A |
BBB |
BB |
B |
CCC |
违约 |
| 0.09 |
2.27 |
91.05 |
5.52 |
0.74 |
0.26 |
0.01 |
0.06 |
| AAA |
0.02 |
0.00 |
0.00 |
0.02 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
| AA |
0.33 |
0.00 |
0.04 |
0.29 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
| A |
5.95 |
0.02 |
0.39 |
5.44 |
0.08 |
0.01 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
| BBB |
86.93 |
0.07 |
1.81 |
79.69 |
4.55 |
0.57 |
0.19 |
0.01 |
0.04 |
| BB |
5.30 |
0.00 |
0.02 |
4.47 |
0.64 |
0.11 |
0.04 |
0.00 |
0.01 |
| B |
1.17 |
0.00 |
0.00 |
0.92 |
0.18 |
0.04 |
0.02 |
0.00 |
0.00 |
| CCC |
0.12 |
0.00 |
0.00 |
0.09 |
0.02 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
| 违约 |
0.18 |
0.00 |
0.00 |
0.13 |
0.04 |
0.01 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
根据表3.8和表3.9，我们就可以很清晰地知道这个由两个债券构成的资产组合在一年后的价值概率分布，并可以计算出其相应的均值和标准差：
均值：
方差： （标准差为3.35）
边际风险
我们在前面计算了一个BBB级债券和A级债券的资产组合的价值标准差为3.35。我们如果用3.4.2节中的方法把A级债券一个单独的资产来计算其价值的标准差，结果为1.49。我们已经知道BBB级债券的标准差为2.99。那么为什么A级债券和BBB级债券作为单独的资产处理，得到的其标准差之和1.49+2.99=4.48，却大于两者资产组合的标准差3.35呢？这是因为，资产组合的风险分散效应。由于这两个债券并不是呈完全正相关，因此其组合的风险(标准差)要小于两个资产单独的风险(标准差)之和。而3.35与BBB级债券原来的标准差2.99两者的差值3.35-2.99=0.36称为A级债券对资产组合的边际风险（即，递增的风险）。
4、多个债券组成的资产组合的价值分布
至此，我们计算出了由两个债券组成的资产组合的未来价值概率分布。这种方法同样可以继续延续到由超过两个以上债券(或者是贷款)构成的资产组合，而得出未来资产组合价值的概率密度函数。在实际运作时，由于当一旦资产的数量增多时，未来可能的状态将呈非常迅猛的增长，因此基于reditMetrics模型的软件CreditManager(信用经理)采用了蒙特卡罗仿真的方法来计算资产组合的未来价值分布，下面显示了其计算的路径图：
5、CreditMetrics模型输出参数的实际运用
CreditMetrics模型在实际领域里有如下几方面的用途：
(1) 寻找出资产组合中给整个组合造成最大风险的单个信贷资产，以采取必要的管理措施。
上图是建立在CreditMetrics模型基础上的软件CreditManager的一个输出图。这个散点图是针对某个假设的资产组合而得到的关于组合中各个债项大小和相应的VaR贡献率的分布图。我们可以看出，右下角的散点代表那些风险较低，但数额比较大的贷款。而左上角的散点代表那些高风险，但数额比较小的贷款。我们最关心的其实应该是右上角那些风险又大金额又大的贷款，针对这些资产做进一步调查或进行资产置换等工作。
(2) 及时发现资产组合中，哪些行业/地区的资产过于集中，用限制信用额度的方法来控制资产的总体风险。 CreditManager的一个输出是给出不同行业或信用等级的VaR贡献率，并且具备多种敏感度分析功能，使用户可以清晰地看出信贷资产组合中风险所集中的地方，并可采取相应的措施控制风险。
(3) 计算风险所占用的经济资本。CreditManager也同样可以给出整个信贷资产组合及单个信贷资产所占用的经济资本金。
(4) 贷款定价。用户可以设置不同的贷款利率，以观察其对预期收益、资本金的要求等多种因素的影响。 |
