五、EDF模型

EDF模型是通过观察上市公司股票价格的数据和企业的资产负债结构而得出企业违约率和信用等级的一个数学模型。

适用于计算上市公司违约率的最早的模型是默顿模型(Merton Model)。默顿模型又称为信用风险的“结构模型”(structural model)，之所以被称为“结构模型”是因为模型的假设条件是公司资产负债表的“结构”。1974年默顿提出了一个简单的将信用风险与公司资本结构关联起来的模型。这个模型的理论基础是期权定价技术。EDF模型是美国KMV公司在默顿模型的基础上进一步发展得来的。

根据EDF模型，如下三个要素决定了一个企业的违约率:

资产价值: 这里指的是公司资产的市场价值。这不同于企业资产负债表中的账面价值。而是通过计算企业资产产生的未来自由现金流以适当的利率贴现后的净现值。这是对企业未来前景的一种度量并且包含了行业和整个经济的信息。

资产风险：资产价值的不确定性或者说是其风险。这主要反映了企业的经营风险和行业风险。由于企业的资产价值是估计得来的因而具有不确定性。在模型中这主要反映在企业资产价值的波动性。

财务杠杆：企业负债的程度。虽然对企业的资产价值用的是市场价值，而企业账面上的负债额度却是反映企业财务杠杆的指标，因为这是企业必须偿还的部分。

默顿模型的基本原理是一个企业的违约率随着企业资产市值的降低而增加。当资产市值最终低于负债总额的时候，企业无法偿还其债务，而违约就发生了。而企业的负债总额被称为“违约点”，相当于阀值的含义。EDF模型在最初的默顿模型基础上进行延伸。KMV经过研究公司发现，有一些公司当其资产市值跌至公司总负债时并没有立即出现违约情况，这是因为公司债务中有相当部分是长期债务。实际的“违约点”是介于总负债和短期负债之间的一个数值。

例如，图3.1显示了美国安然公司的市场价值演变以及公司的账面上的债务额度，最终导致公司2002年12月1日申请破产保护。

(图3.1)

我们假定公司的资产市场价值在一年以后处于某种概率分布，资产价值的波动性越小，其相对的风险就越小，违约率就越低。反之，如果公司的资产价值波动性越大，价值越不稳定，违约风险就增加了。资产价值、经营风险(即价值风险)和财务杠杆三者合并起来组成一个指标来反映企业的违约率，这个指标被称作是违约距离DD(Distance-to-Default)，计算公式如下：

违约距离＝

如果我们知道了公司一年后的市价概率分布，或者知道违约距离和违约率两者的对应关系，我们就可以计算出公司的预期违约频率(EDF: Expected Default Frequency)。下图3.2显示了公司资产一年后的价值分布、违约距离和违约率的关系：

(图3.2)

如果我们知道企业的违约距离的概率分布，那么企业的预期违约率(EDF)就可通过计算企业的资产市值低于其负债额度的概率来得出(见图3.2)。然而企业的违约距离概率分布实际上却很难得出。KMV公司通过研究发现，违约距离的概率分布并不是原来人们想象中的正态分布或对数分布。这其中的一个重要原因就是企业的“违约点”也是一个随机变量。一般认为违约点就是企业的负债额度(摊销至一年)，而实际上企业在违约前往往调整其负债总额(或高、或低)。对于这种负债的不确定性，EDF模型是通过一个经验表格将违约距离映射到预期违约频率中去（实际上做成了一种函数）。这种效果使得实际上的违约距离概率分布呈现“长尾性”。比如说，如果违约距离是4个标准差，那么相应的违约率是1%，而用正态分布得出概率几乎为零。

从上可以看出计算违约距离是个关键的步骤。为了计算违约距离，我们必须知道企业资产的市值(预期值)及其波动性。而这两个参数是通过观察企业的股票价格和波动性得出的。默顿模型的基本思路-“股权相当于公司资产的买方期权，约定价格为公司账面上的负债总额”- 将企业的资产市值和股价两者之间的关系联系起来。有限责任公司的形式就决定了股东们有权利，但不是义务，偿还所有的负债而接管公司的所有资产。下面这个假设公司的例子说明了这个观点。

(图3.3)

比如说，某投资者自己出资30元并从银行借70元，共100元组建ABC公司。那么五年之后股权的价值是多少呢？如果公司资产的价值当时为60元，那么股权当时的价值就为零。而如果公司资产的价值是110元，那么股权的价值就是40元。股权价值取决于公司资产的价值，其形式极其类似对公司资产的一个买方期权：负债总额70为约定价格，公司未来资产价值S0与70的差值S0-70是获利期权的内在价值。

(图3.4)

上图中的绿线显示了期权的内在价值(intrinsic value)，而由于期权时间价值的缘故，红现才代表真正意义上的买方期权价值，即是公司的股权价值。因此对于上市公司我们可以通过观察“期权价值”(股价)和约定价格(负债)，从而计算出对应的资产市值。下面的二元方程式说明了计算资产市值及其波动性的方法：

股价 ＝ 期权函数(资产市值，资产波动性，资本机构，利率)

即：     (1)         

以及经过简单推导得出的：E =         (2) 

(其中：

VE  =  股权价格

  = 股价的标准差

VA  = 资产市价

  = 资产的标准差

N(d) = 在一个标准正态分布中所有小于d的累计概率

D = 在T时间到期的负债总额账面价值

r = 无风险利率 (与T时间相应的一个安全资产的持续复利的年利率)

 T = 模型的期限时间段

= 套期比率，即(1)式中的         

通过解方程式(1)和方程式(2)，我们就可以计算出VA和,并继而计算出违约距离和违约率。例如，某公司的股票市值为30亿美元，股价的每年波动(标准差)为40%，总负债为100亿美元。并假定所有的债务到期时间T=1年，无险利率r = 5%。则我们通过解方程式(1)和(2)就可以计算出公司资产的市值为125亿美元，资产波动性为9.6%。

因此我们可以总结出EDF模型计算公司违约率的三个步骤：

估算公司的市值和波动性：在这个步骤里面，公司的市值和波动性可以从公司股票的价格和波动性、以及公司账面上的负债计算出。

计算违约距离：从上面第一步骤中计算出来的公司的市值及其波动性、以及公司账面上的负债额度，我们可以计算出违约距离(DD)。

计算违约率：从违约距离及相应的对应关系中，我们可以计算出公司的预期违约率。